Momen inersia

Momen inersia

Momen inersia (Satuan SI : kg m²) adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain. Meskipun pembahasan skalar terhadap momen inersia, pembahasan menggunakan pendekatan tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih rumit seperti gerakan giroskopik.

Lambang I dan kadang-kadang juga J biasanya digunakan untuk merujuk kepada momen inersia.

Konsep ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum^[1] Dalam buku tersebut, dia mengupas momen inersia dan banyak konsep terkait. pada tahun 1730.

Besarnya momen inersia sebuah partikel yang berotasi dengan jari-jari R 

didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kuadrat jari-jarinya. I = m R2. Untuk sistem partikel atau benda tegar memenuhi hubungan berikut.

k adalah nilai konstanta inersia yang besarnya tergantung pada suhu dan bentuk bendanya.

Momen inersia dapat dimiliki oleh setiap benda, manusiapun memiliki momen inersia tertentu. Besarnya momen inersia bergantung pada berbagai bentuk benda, pusat rotasi, jari-jar rotasi, dan massa benda. Pada penentuan momen inersia bentuk tertentu seperti bola silinder pejal, plat segi empat, atau bentuk yang lain cenderung lebih mudah dari pada momen inersia benda yang memiliki bentuk yang tidak beraturan. Bentuk yang tidak beraturan ini tidak bias dihitung jari-jarinya, sehingga terdapat istilah jari-jari girasi. Jari-jari girasi ini adalah jari-jari dari benda yang bentuknya tak beraturan dihitung dari pusat rotasinya. Jari-jari girasi inilah yang membantu pada proses perhitungan jari momen inersia benda, tetapi pada setiap sisi benda yang tidak beraturan ini yang menyebabkan momen inersia yang tidak beraturan sulit untuk dihitung.(Giancolli, 1989, hal 226)
Benda tegar yang berotasi terdiri dari massa yang bergerak, sehingga memiliki energi kinetik. Hal ini dapat dinyatakan energi kinetik ini dalam bentuk kecepaian sudut benda dan sebuah besaran baru yang disehut momen inersia. Untuk mengembangkan hubungan ini, misalkan sebuah benda yang lerdiri dari sejumlah
besar partikel dengan massa m1, m2, m3,.....pada jarak r1,r2,r3.....dari sumbu putar. Apabila diberi nama masing-masing partikel dengan subskrip i, massa partikel ke-i adalah mi, dan jaraknya dari sumbu pular adalah ri. Partikel tidak harus seluruhnya berada pada satu bidang, sehingga dapat ditunjukkan bahwa rt adalah jarak tegak lurus dari sumbu terhadap partikel ke-i dinyatakan sebagai.

Ketika benda tegar berotasi di sekitar sebuah sumbu tetap, laju Vi dari partikel ke-i diberikan oleh Persamaan v, = ri ω, di mana ω adalah laju sudut benda. Setiap partikel memiliki nilai r yang bcrbeda. Tetapi ω yang sama untuk semua (kalau tidak. benda tidak akan tegar). Energi kinelik uniuk partikel ke-i dinyatakan sebagai

Energi kinetik total benda adalah jumlah energi kinetik dari semua partikelnya adalah

Dengan mengeluarkan faktor ω^2/2 dari persamaan, didapat :

Besaran di dalam kurung , di dapat dengan mengalikan massa masing-masing partikel dengan kuadrat jarakn ya dari sumbu putar dan menambahkan hasilnya, dinyatakan dengan I dan disebut sebagai momen inersia. Sehingga momen inersia dapat di nyatakan sebagai

(zemansky.1991, 293-294)
Dalam persamaan ini, jarak ri adalah jarak dari partikel ke-i ke sumbu rotasi. Biasanya, jarak ini tidak sama dengan jarak partikel ke-i ke titik asal, walaupun untuk sebuah cakram dengan titik asakbya di pusat sumbu, jarak-jarak ini adalah sama. Momen inersia adalah ukuran resistansi atau kelembaman sebuah benda terhadap perubahan dalam gerak rotasi. Momen inersia ini tergantung pada distribusi massa benda relatif terhadap sumbu rotasi benda. Momen inersia adalah sifat benda ( dan sumbu rotasi ), seperti massa m yang merupakan sifat benda yang mengukur kelembamannya terhadap perubahan dalam gerak translasi.
Untuk sistem yang terdiri dari sejumlah kecil partikel-partikel diskrit, dapat dihitung momen inersia terhadap sumbu tertentu langsung berdasarkan persamaan di atas. Untuk kasus benda kontinu yang lebih sederhana, seperti cincin momen inersia terhadap sumbu tertentu dapat dihitung dengan menggunakan kalkulus.

Keseimbangan Partikel

Suatu partikel disebut dalam keadaan seimbang, bila jumlah aljabar gaya-gaya yang bekerja pada partikel tersebut nol.

Syarat keseimbangan partikel adalah : F = 0

Jika partikel terletak pada bidang XY maka syarat keseimbangan : FX = 0 dan FY = 0

Momen Gaya
Momen gaya adalah perkalian silang antara gaya dengan lengan momen.
Lengan momen didefinisikan sebagai panjang garis yang ditarik dari titik poros sampai memoton tegak lurus garis kerja gaya.
Momen gaya yang searah gerak jarum jam diberi tanda positif, sedangkan momen gaya yang berlawanan arah gerak jarum jam diberi tanda negatif.
Apabila pada sebuah benda bekerja beberapa buah gaya, maka resultan momen gayanya merupakan
jumlah aljabar dari masing-masing momen gaya.

Kopel dan Momen Kopel
Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada suatu benda tidak menyebabkan benda itu bergerak translasi, tetapi hanya menyebabkan benda berputar terhadap porosnya.
Momen kopel adalah perkalian silang antara gaya dengan jarak tegak lurus antara kedua garis kerja gaya tersebut.
M = F x l
Syarat keseimbangan statik benda tegar
Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statik bila dipenuhi resultan gaya dan resultan momen gaya terhadap satu titik sembarang sama dengan nol dan benda dalam keadaan diam.
Titik Berat
Tiap benda terdiri atas bagian-bagian kecil yang masing-masing memiliki berat. Apabila seluruh bagian-bagian kecil tersebut dijumlah akan didapat sebuah gaya berat. Titik tangkap gaya berat suatu benda disebut titik berat. Titik berat tidak selalu bekerja di dalam benda, tetapi dapat pula bekerja di luar benda.


Macam-macam Keseimbangan
Jenis keseimbangan statis dapat dibagi menjadi tiga yaitu :
Keseimbangan stabil (Mantap)
adalah keseimbangan yang dialami benda jika setelah gangguan kecil yang dialami benda dihilangkan maka benda kembali ke posisi keseimbangannya semula. Keseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan kecil yang dialaminya menaikkan titik beratnya atau energi potensialnya.
Keseimbangan labil ( Goyah )
adalah keseimbangan yang dialami benda jika setelah gangguan kecil yang dialami benda dihilangkan maka benda tidak kembali keposisi keseimbangannya semula melainkan meningkatkan gangguan tersebut. Keseimbangan labil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan kecil yang dialaminya menurunkan titik beratnya atau energi potensialnya.
Keseimbangan Indiferent (Netral)
adalah keseimbangan yang dialami benda, jika gangguan kecil yang dialami benda tidak mengubah posisi benda.
Keseimbangan Indiferent dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda, jika gangguan kecil tidak mengubah letak titik beratnya.

Keseimbangan Benda Tegar

Jika benda dipengaruhi gaya yang jumlahnya nol ΣF = 0 maka benda akan lembam atau seimbang translasi. Hukum I Newton dapat dikembangkan untuk gerak rotasi. Jika suatu benda dipengaruhi momen gaya yang jumlahnya nol (Στ = 0) maka benda tersebut akan seimbang rotasi.

Kedua syarat di atas itulah yang dapat digunakan untuk menjelaskan mengapa sebuah benda tegar itu seimbang. Sebuah benda tegar akan seimbang jika memenuhi keadaan syarat di atas. Berarti berlaku syarat di bawah.

Soal dan Penyelesaian

Sebuah papan panjangnya 2 m diberi penopang tiap-tiap ujungnya seperti pada Gambar. Massa papan 10 kg. Pada jarak 50 cm dari penopang B diletakkan beban 80 N. Jika sistem dalam keadaan seimbang maka tentukan gaya tekan normal yang bekerja di titik A dan B!

Penyelesaian :

Untuk menentukan nilai NA dan NB dapat digunakan syarat persamaan di atas. Karena keduanya belum diketahui, gunakan syarat Στ = 0 terlebih dahulu.

Acuan titik A

Momen gaya yang bekerja dari titik A dapat digambarkan seperti pada Gambar , dan

berlaku syarat berikut.

ΣτA = 0

(AB). NB − (AO). wAB − (AC) . w = 0

2 . NB − 1. 100 − 1,5 . 80 = 0

2 NB = 220

NB = 110 N

Nilai NA dapat ditentukan dengan syarat ΣF = 0 sehingga diperoleh :

ΣF = 0

NA + NB − wAB − w = 0

NA + 110 − 100 − 80 = 0

NA = 70 N

2. Sebuah papan nama bermassa 10 kg digantung pada batang bermassa 4 kg seperti pada Gambar (a). Agar sistem dalam keadaan seimbang maka berapakah tegangan minimum yang dapat ditarik oleh tali BC?

Penyelesaian :

Tegangan T minimum adalah besar tegangan yang dapat menyebabkan sistem itu seimbang sesuai beratnya. Gaya dan momen gayanya dapat
digambarkan seperti pada Gambar (b).
Nilai T dapat ditentukan dengan syarat Στ = 0 di titik A.
ΣτA = 0
(AB).T sin 30O− (AB).wAB−(AB).w = 0 l . T . − l . 40 − l . 100 = 0
T − 40 − 200 = 0
T = 240 N

TITIK BERAT

Pernah liat pertunjukan seperti itu? Apakah rahasia dari para pemain sirkus sehingga dapat beraksi seperti gambar di samping tanpa jatuh..? Rahasianya adalah titik berat. Apakah titik berat itu? Mari kita cari tahu..!

Semua benda di bumi mempunyai berat. Berat suatu benda dapat dianggap terkonsentrasi pada satu titik yang di sebut pusat gravitasi atau titik berat. Pada titik berat ini gaya-gaya yang bekerja menghasilkan momen resultan sama dengan nol. Karena itulah benda yang di tumpu pada titik beratnya akan berada dalam keseimbangan statik. Dengan kata lain titik berat adalah titik tangkap dari semua gaya yang bekerja. Contoh berikut ini menunjukkan bagaimana menentukan letak resultan gaya yang sejajar. Contoh soal ! Empat buah gaya masing-masing F1 = 20N, F2 = 30N, F3 = 40N dan F4 = 10N bekerja pada sepanjang sumbu x seperti gambar berikut. Tentukanlah letak resultan keempat gaya tersebut!

Jawab:

gaya F1= 20 N dengan x1=-1m

gaya F2=30 N dengan x2=1m

gaya F3=40 N dengan x3=2m

gaya F4= 10 N dengan x4=3m

Letak Resultan keempat gaya tersebut dapat di tentukan dengan persamaan:

Benda dengan berat w tersusun atas partikel-partikel dengan berat w1, w2, w3, .... yang terletak pada koordinat (x1,y2,z3), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) dan seterusnya... maka letak titik resultan gaya-gaya tersebut secara umum dapat ditentukan dengan persamaan.